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4.2 - Teoremi dell'algebra di Boole
Utilizzando le precedenti considerazioni si possono ricavare i Teoremi dell’algebra booleana che possono essere utilizzati per dedurre espressioni equivalenti che abbiano un minor numero di termini (semplificazioni delle espressioni booleane).
Contrariamente a quanto avviene nell’algebra ordinaria, dove non è possibile dimostrare i teoremi sostituendo alle variabili tutti i valori che possono assumere, nell’algebra booleana i teoremi sono dimostrabili verificandone la validità per tutte le combinazioni di valori ( 0 oppure 1 ) delle variabili.
Per i principali teoremi dell’algebra booleana, di seguito elencati, esiste il teorema duale, cioè un teorema ottenuto applicando la regola di dualità.
X ∙ 0 = 0
Duale: X + 1 = 1
X ∙ 1 = X
Duale: X + 0 = X
X ∙ X = X
Duale: X + X = X
X ∙ X' = 0
Duale: X + X' = 1
Proprietà Commutativa
X ∙ Y = Y ∙ X
Duale: X + Y = Y + X
Proprietà Associativa
X ∙ Y ∙ Z = (X ∙ Y) ∙ Z = X ∙ (Y ∙ Z)
Duale: X + Y + Z = (X + Y) + Z = X + (Y + Z)
Proprietà Distributiva
X ∙ Y + X ∙ Z = X ∙ (Y + Z)
Duale: (X + Y) ∙ (X + Z) = X + Y ∙ Z
Teorema dell’inclusione
X + X ∙ Y = X
Duale: X ∙ (X + Y) = X
Teorema della fusione diretta
X ∙ Y + X ∙ Y' = X
Duale: (X + Y) ∙ (X + Y') = X
X + X' ∙ Y = X + Y
Duale: X ∙ (X' + Y) = X ∙ Y
Z ∙ X + Z ∙ X' ∙ Y = Z ∙ X + Z ∙ Y
Duale: (Z + X) ∙ (Z + X' + Y) = (Z + X) ∙ (Z + Y)
X ∙ Y + X' ∙ Z + Y ∙ Z = X ∙ Y + X' ∙ Z
Duale: (X + Y) ∙ (X' + Z) ∙ (Y + Z) = (X + Y) ∙ (X' + Z)
X ∙ Y + Z = (X + Y) ∙ (X' + Z)
Duale: (X + Y) ∙ (X' + Z) = X ∙ Z + X' ∙ Y
X ∙ f (X, X', Y, …, Z) = X ∙ f (1, 0, Y, …, Z)
Duale: X + f (X, X', Y, …, Z) = X + f (1, 0, Y, …, Z)
f (X, X', Y, …, Z) = X ∙ f (1, 0, Y, …, Z) + X' ∙ f (1, 0, Y, …, Z)
Duale: f (X, X', Y, …, Z) = [X + f (1, 0, Y, …, Z)] ∙ [X + f (1, 0, Y, …, Z)]
Nei precedenti Teoremi le lettere X, Y, … , Z, oltre a rappresentare singole variabili, possono rappresentare in generale delle espressioni booleane.
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