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2.9. IL TEOREMA DI BOLTZMANN
Il grande fisico Ludwig Boltzmann ha collegato l’entropia di un sistema con la probabilita’ dello stato del sistema. Piu’ precisamente sia N il numero di stati dinamici che corrispondono ad un sistema termodinamico; dividendo tale numero per il numero totale degli stati dinamici possibili, si ottiene la probabilita’ p di ottenere lo stato termodinamico in questione. Di conseguenza N e’ proporzionale alla probabilita’ p. E’ chiaro –allora- che compatibilmente all’energia del sistema, lo stato piu’ stabile e’ quello che corrisponde alla probabilita’ massima. Or bene –secondo- Boltzmann vale il seguente teorema:
S=klogN
Dove k e’ la celebre costante di Boltzmann e vale esattamente la costante universale dei gas divisa per il numero di Avogadro.
Ne presentiamo qui una dimostrazione molto semplice.
DIMOSTRAZIONE
Supponiamo che esiste una relazione del tipo S=f(N). Posto: S1=f(N1), S2=f(N2) e S=S1+S2= f(N1)+ f(N2)
si ha:
S=f(N1*N2) (N1*N2 e’ proporzionale alla probabilita’ complessiva del sistema). Dunque si ha:
f(f(N1*N2))= f(N1)+ f(N2) Ricordando che il logaritmo trasforma il prodotto in una somma, si ha:
S=klogN
qove k e’ una costante da determinare fisicamente.
QED
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